题目

已知函数f(x)=-

1

3

x3+x2+ax+b(a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率都小于2a²，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=3时，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+b，所以f^/（x）=-x²+2x+3，
由f"（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f"（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调增区间为（-1，3），减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）因为f"（x）=-x²+2x+a，
由题意得：f"（x）=-x²+2x+a＜2a²对任意x∈R恒成立，
即-x²+2x＜2a²-a对任意x∈R恒成立，
设g（x）=-x²+2x，所以g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
所以当x=1时，g（x）有最大值为1，
因为对任意x∈R，-x²+2x＜2a²-a恒成立，
所以2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

，
所以，实数a的取值范围为{a|a＞1或a＜-

1

2

}．

解析