已知函数f(x)=(x+1)(x+a)x2

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

(x+1)(x+a)
x2
为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5-
1
4
，判断λ与E的关系；
（Ⅲ）当x∈[
1
m
，
1
n
]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

答案

（I）∵函数f(x)=

(x+1)(x+a)
x2
为偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即
(x+1)(x+a)
x2
=
(-x+1)(-x+a)
x2

∴2（a+1）x=0，
∵x为非零实数，
∴a+1=0，即a=-1
（II）由（I）得f(x)=
x2-1
x2

∴E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，
3
4
}
而λ=lg22+lg2lg5+lg5-
1
4
=lg2•(lg2+lg5)+lg5-
1
4
=lg2+lg5-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

∴λ∈E
（III）∵f′(x)=
2
x3
＞0恒成立
∴f(x)=
x2-1
x2
在[
1
m
，
1
n
]上为增函数
又∵函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，
∴

解析

相关题目