题目

已知函数f（x）=x³+2x²+x．
（I）求函数f（x）的单调区间与极值；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（I）∵f"（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f"（x）＞0得x＞-

1

3

或x＜-1
故函数在（-∞，-1）与（-

1

3

，+∞）是增函数，在（-1，-

1

3

）是减函数，故函数在x=-1处取到极大值，在x=-

1

3

处取到极小值
极大值为0，极小值-

4

27

（II）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，则必有a≤

f(x)

x2

=x+

1

x

+2对于任意x∈（0，+∞），恒成立，
∵x+

1

x

+2≥4，等号当且仅当x=

1

x

=1时成立
∴a≤4
∴实数a的取值范围（-∞，4]

解析