已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）≥0的

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}，且f（x）在区间[-1，1]上的最小值是4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=x+5-f（x），若对任意的x∈(-∞，-

3
4
]，g(
x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]均成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）由f（x）≥0解集为{x|-2≤x≤3}，可设f（x）=a（x+2）（x-3）=a（x2-x-6），且a＜0
对称轴x=

1
2
，开口向下，f（x）min=f（-1）=-4a=4，解得a=-1，f（x）=-x2+x+6；…（5分）
（Ⅱ）g（x）=x+5+x2-x-6=x2-1，g(
x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]恒成立
即
x2
m2
-1-(x-1)2+1≤4[m2(x2-1)+m2-1]对x∈(-∞，-
3
4
]恒成立
化简(
1
m2
-4m2)x2≤x2-2x-3，即
1
m2
-4m2≤-
3
x2
-
2
x
+1对x∈(-∞，-
3
4
]恒成立…（8分）
令y=-
3
x2
-
2
x
+1，记t=
1
x
∈[-
4
3
，0)，则y=-3t2-2t+1，
二次函数开口向下，对称轴为t0=-
1
3
，当t=-
4
3
时ymin=-
5
3
，
故
1
m2
-4m2≤-
5
3
…（10分）
所以（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-

解析

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