题目

已知函数y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）内是减函数，且f（x）＜0，试问：F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）内单调性如何？并证明之

答案

∴F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函数
证明：设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0
∵f（x）在（0，+∞）内是减函数且f（x）＜0，
∴f（-x₁）＜f（-x₂）＜0
∵函数y=f（x）是奇函数
∴-f（x₁）＜-f（x₂）＜0即f（x₁）＞f（x₂）＞0
∴F（x₁）-F（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

＜0
∴F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函数

解析