已知函数f(x)=x2+kx （x≠0，常

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=x2+

k
x
（x≠0，常数k∈R）．
（1）判断函数f（x） 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若k=8，证明：当a＞3 时，关于x 的方程f（x）=f（a） 有三个实数解．

答案

（1）当k=0 时，f（x） 是偶函数；
当k≠0 时，f（x） 既不是奇函数，也不是偶函数． 
证明：①当k=0 时，f（x）=x2 （x≠0 ），
∴f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x） 是偶函数； 
②当k≠0 时，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，
∴f（-1）+f（1）=1-k+1+k=2≠0，
∴f（-1）≠-f（1）； 
又f（-1）-f（1）=1-k-1-k=-2k≠0，
∴f（-1）≠f（1）． 
∴f（x） 
既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）由f（x）=f（a） 得，x2+

8
x
=a2+
8
a
，
化简整理得，(x-a)(x+a-
8
ax
)=0，
由x-a=0 得，方程的一个解x1=a；
由x+a-
8
ax
=0 得，ax2+a2x-8=0，①
∵a＞3 
，∴△=a4+32a＞0，
解①得x2=
-a2-

解析

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