题目

已知函数f(x)=a+

1

2x+1

，a∈R．
（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f(x)=a+

1

2x+1

在区间（1，2）恰有一个零点，求实数a的取值范围．

答案

（1 ）函数f（x）是定义在R上的奇函数有f(0)=a+

1

2

=0
∴a=-

1

2

（2）f′(x)=

2xln2

(2x+1)2

＞0∴f（x）是实数集R上的单调递增函数
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即(a+

1

2

)(a+

1

5

)＜0解之得-

1

2

＜a＜-

1

5

．

解析