题目
（I）求证：方程f（x）=1有实根；
（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；
（III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．
答案
设t=x2，也就是证明方程t2-2at=1有非负实数根．
而△=4a2+4＞0，故可设t2-2at-1=0的两根为t1，t2．
t1t2=-1，∴t1，t2一正一负，
∴方程有正根
∴方程f（x）=1有实根；
（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，
h′（x）=f′（x）-1=4x3-4ax-1≤0恒成立，
x=0时显然成立；
对任意的0＜x≤1，a≥x2-
| 1 |
| 4x |
| 1 |
| 4x |
而g（x）=x2-
| 1 |
| 4x |
∴a≥f（1）=
| 3 |
| 4 |
∴a的取值范围为[
| 3 |
| 4 |
（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x3-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x3-4ax
若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；
若a＞0则F′（x）=12x2-4a=12（x-
解析 |