已知函数f(x)=x2+1x+c的图象关

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

x2+1
x+c
的图象关于原点对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（22）-22]+…+[f（n2）-n2]＜2；
（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．

答案

∵f（x）图象关于原点对称
∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
∴f(x)=

x2+1
x

（2）∵n≥2，n∈N
∴f(n2)-n2=
1
n2
＜
1
(n-1)n
=
1
n-1
-
1
n
(n≥2)
∴[f(1)-1]+…+[f(n2)-n2]＜1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)＜2
（3）[f(x)]n-f(xn)=(x+
1
x
)n-(xn+
1
xn
)
=
C 1n
xn-1
1
x
+
C 2n
xn-2(
1
x
)2+…+
C n-1n
x(
1
x
)n-1
=
1
2
[(
C 1n
xn-1
1
x
+
C n-1n
x(
1
x
)n-1)+(
C 2n
xn-2(
1
x
)2+
C n-2n
x2(
1
x
)n-1)+…+(
C n-1n
x(
1
x
)n-1+
C 1n
xn-1(
1
x
))]

≥
1
2
[
C n1
2

解析

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