已知a＞0且a≠1，f（x）=aa2-1

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知a＞0且a≠1，f（x）=

a
a2-1
(ax-a-x)（x∈R）
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．

答案

（1）f（x）为奇函数．
∵f（x）定义域为R，关于原点对称，
又f（-x）=

a
a2-1
(a-x-ax)=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
a
a2-1
（ax1-a-x1）-
a
a2-1
（ax2-a-x2）=
a
a2-1
•
(ax1-ax2)(ax1+x2+1)
ax1+x2
，
①当a＞1时，
a
a2-1
＞0，又x10，ax1+x2+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）为增函数；
②当0＜a＜1时，
a
a2-1
＜0，当x10，ax1+x2+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）也为增函数，
综上f（x）为增函数；
（3）∵f（x）是奇函数且在R上是增函数，
∴f（1-m）+f（1-m2）＜0⇔f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），
又x∈（-1，1），∴

解析

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