题目

已知函数f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

（1）若g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值；
（2）对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记G(x)=

1

2

x3-

5

2

x-xg(x)+

1

2

求证：当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立．

答案

（1）∵f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

，
∴f′（x）=3x²-a，g′(x)=x-

1

x

，
令g′(x)=x-

1

x

=0，得x=1，（x=-1舍）
当0＜x＜1时，g′（x）0．
∴当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．
∵g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，
∴f（1）=-2，且f′（1）=0，即

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