题目

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈[-1，1]）．
（1）若t＞0，求f（x）的最小值h（t）；
（2）对于（1）中的h（t），若t∈（0，2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=t（x+t）²-t³+t-1，
①若-t＜-1，即t＞1时，f（x）在[-1，1]上单调递增，f（x）的最小值为f（-1）=-2t²+2t-1；
②若-1≤-t＜0，即0＜t≤1时，则f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-t）=-t³+t-1；
∴h(t)=