题目

已知函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2-2a2x+1   (a＞0)
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围；
（3）已知不等式f"（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

答案

（1）∵f′（x）=x²-ax-2a²，令f′（x）=x²-ax-2a²=0，则  x=-a或x=2a
f′（x）=x²-ax-2a²＞0时，x＜-a或x＞2a
x=-a时，f（x）取得极大值f（-a）=

7

6

a3+1，x=2a时，f（x）取极小值
f（2a）=-

10

3

a3+1
（2）要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，由（1）的极值可得

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