题目

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）证明：e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)(n∈N*，e为常数)．

答案

x＞-1，f′（x）=e^x-

1

x+1

．
（I）由于f′（x）=e^x-

1

x+1

在（-1，+∞）上是增函数，且f′（0）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调增区间（0，+∞），函数f（x）的单调减区间（-1，0）．
（II）由（I）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，
∴e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，
取x=

1

n

，则e

1

n

≥ln(

1

n

+1)+1=ln(n+1)-lnn+1，
于是e≥ln2-ln1+1，
e

1

2

≥ln3-ln2+1，
e

1

3

≥ln4-ln3+1，
…
e

1

n

≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)(n∈N*，e为常数)，得证．

解析