题目

设f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；
（2）若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m取值范围．

答案

（1）f（-x）=-f（x），log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，可得

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

⇒（a²-1）x²=0⇒a=±1
 a=1时舍去，故a=-1
 （2）f（x）=log

1

2

(1+

2

x-1

)
构造g（x）=f（x）-（

1

2

）^x=log

1

2

(1+

2

x-1

)-（

1

2

）^x
易得g（x）在区间[3，4]上单调递增
∴g（x）≥g（3）=-

9

8

m＜-

9

8

∴m∈（-∞，-

9

8

）

解析