定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．已知f（x）=ax2-|x|+2a-1
（1）若a=1，判断函数f（x）在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由．
（2）若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

答案

（1）∵a=1，x∈[1，2]
∴f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1

，x∈[1，2]
，
∴f（x）min=1≤1，
∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质．…（4分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2-x+2a-1…（5分）
①若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a=0…（6分）
②若a≠0，则f(x)=a(x-
1
2a
)2+2a-
1
4a
-1，函数的对称轴为直线x=
1
2a

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=6a-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a＜0…（7分）
当0＜
1
2a
＜1，即a＞
1
2
时，f（x）在区间[1，2]上是增函数f（x）min=f（1）=3a-2，
若函数f（x）具有“DK”性质，则3a-2≤1
∴
1
2
＜a≤1…（8分）
当1≤
1
2a
≤2，即
1
4
≤a≤
1
2
时，f(x)min=f(
1
2a
)=2a-
1
4a
-1
若函数f（x）具有“DK”性质，则2a-
1
4a
-1≤1得
2-

解析

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