已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，

难度：一般 题型：填空题 来源：不详

题目

已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在x∈[

1
2
，1]上恒成立，则实数a的取值范围为______．

答案

因为f（x）是偶函数，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[

1
2
，1]上恒成立⇔f（|ax+1|）≤f（|x-2|）在x∈[
1
2
，1]上恒成立 ①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x-2|在x∈[
1
2
，1]上恒成立⇒（a2-1）x2+2（a+2）x-3≤0②在x∈[
1
2
，1]上恒成立．
a=1时，②转化为2x-1≤0⇒x≤
1
2
不符合，舍去；
a=-1时，②转化为2x-3≤0⇒x≤
3
2
成立；
|a|＞1时，得a2-1＞0，②转化为

解析

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