题目

定义在R上函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，且f(

x

5

)=

1

2

f(x)当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f(

1

2011

)=（　　）

A． 1 2

B． 1 16

C． 1 32

D． 1 64

答案

∵f（x）+f（1-x）=1
令x=1得的f（1）=1，x=

1

2

得f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（

x

5

）=

1

2

f（x）得，
f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

，f（

1

625

）=

1

2

f（

1

125

）=

1

16

，f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

．
由f（

x

5

）=

1

2

f（x）得
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

，f（

1

250

）=

1

2

f（

1

50

）=

1

16

，f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

，
∵0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
由f（

1

3125

）≤f（

1

2011

）≤f（

1

1250

）及f（

1

3125

）=f（

1

1250

）=

1

32

得f（

1

2011

）=

1

32

．
故选C．

解析