设函数f(x)=x33-x2-3x-3a，

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数f(x)=

x3
3
-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x）上一个动点，求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；
（2）若x∈[a，3a]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）设切线斜率为k则k=f"（x）=x2-2x-3，当x=1时k最小值为-4．
f（1）=-

20
3
所以切线方程为y+
20
3
=-4（x-1）即12x+3y+8=0
（Ⅱ）由k=f"（x）=x2-2x-3＞0，k=f"（x）=x2-2x-3＜0＜0得．
函数f（x）=
x3
3
-x2-3x-3a，（a＞0）在（-∞，-1），（3，+∞）为增函数，在（-1，3）减函数
（1）

解析

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