题目

已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）若F（x）=af（x）+bx⁵+cx³+2x²+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

答案

（1）令a=b=0⇒f（0）=0f（0）+0f（0）=0⇒f（0）=0
（2）证明：令a=b=1⇒f（1）=0，令a=b=-1⇒f（1）=-2f（-1）⇒f（-1）=0
令b=-1⇒f（-a）=-f（a）+af（-1）=-f（a）⇒f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数；
（3）∵f（x）是奇函数，
∴F（x）-3-2x²=af（x）+bx⁵+cx³+dx也为奇函数，
∴F（-5）-3-2×（-5）²=-[F（5）-3-2×5²]又因为F（-5）=7，
∴F（5）=-F（-5）+106=99，
即：F（5）=99．

解析