题目

已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

答案

（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．…（1分）
①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数； …（3分）
②若a＞0，令f^′（x）=0得x=

1

a

．
在区间（0，

1

a

）上，f^′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
在区间(

1

a

，+∞)上，f^′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；
②当a＞0时，f（x）的递增区间是(

1

a

，+∞)，递减区间是(0，

1

a

)．…（6分）
（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f^′（1）=0
解得a=1，经检验满足题意．…（7分）
由已知f（x）≥bx-2，则

x-1-lnx

x

≥b …（8分）
令g(x)=

x-1-lnx

x

=1-

1

x

-

lnx

x

，则g′(x)=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=

lnx-2

x

…（10分）
易得g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，…（12分）
所以g（x）_min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

． …（13分）

解析