题目

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．（e是自然对数的底数）
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性．

答案

（1）f′(x)=

ex

ex+1

-a，
∵f"（x）是奇函数，
∴f′(-x)=

e-x-1

2(e-x+1)

=-f′(x)，于是a=

1

2

．
（2）f′(x)=

ex

ex+1

-a=

(1-a)ex-a

ex+1

，
①当a≥1时，恒有f"（x）＜0，∴f（x）为R上的单调减函数；
②当0＜a＜1时，由f"（x）＞0得（1-a）e^x-a＞0∴ex＞

a

1-a

∴x＞ln

a

1-a

，
∴当x∈(ln

a

1-a

，+∞)时，f（x）单调递增；当x∈(-∞，ln

a

1-a

)时，f（x）单调递减；
综上：当a≥1时，f（x）为R上的单调减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在(ln

a

1-a

，+∞)上单调递增；在(-∞，ln

a

1-a

)上单调递减．

解析