已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函数

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f（3）=1；②对任意的x＞2均有f（x）＞0；③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）．
（1）求f（2）的值．
（2）是否存在实数a，使得f（cos2θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）令x=y=1，得f（2）=0；
（2）先证明f（x）在（1，+∞）是增函数．
任取x1＞1，x2＞1，且x2＞x1
则有f(x1)+f(

x2-1
x1-1
+1)=f(x1-1+1)+f(
x2-1
x1-1
+1)=f((x1-1)
x2-1
x1-1
+1)=f（x2）．
而
x2-1
x1-1
+1＞1+1=2
所以f（x1）＜f（x2），即f（x）在（1，+∞）是增函数．
又因为f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
令x=y=2  有f（5）=2；
令x=2，y=4  有f（9）=3．
又f(8+1)+f(
1
8
+1)=f(8
1
8
+1)=0，
∴f(-
9
8
)=3．
则f（x）＜3的解集为(-∞，-
9
8
)∪(1，9)，
于是问题等价于是否存在实数a，使cos2θ+asinθ＜-
9
8
或1＜cos2θ+asinθ＜9对任意的θ∈（0，π）恒成立，
令t=sinθ，则t∈（0，1]
对于cos2θ+asinθ＜-
9
8
恒成立化为t2-at-
17
8
＞0，在t∈（0，1]上恒成立．
即a＜t-
17
8t
在t∈（0，1]上恒成立．
而t→0时，t-
17
8t
→-∞，故不存在存在实数a，使cos2θ+asinθ＜-
9
8
恒成立．
1＜cos2θ+asinθ＜9对任意的θ∈（0，π）恒成立等价于

解析

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