题目

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
已知a为实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

答案

（1）∵f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)
∴f（x）的导数为f"（x）=-

-2×2xln2

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，可得a=1．
∴f(x)=1-

2

2x+1

=

1-2x

2x+1

，
令y=

1-2x

2x+1

，可得2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，（-1＜y＜1）
∴函数f（x）的反函数为：f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得

1+x

1-x

=x+t，即-1+

2

1-x

=x+t，
∴t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

解析 相关题目 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2 已知函数f(x)=a•2x+a2-22x- 已知数列{an}：a1=1、a2=2、a3=r且 设函数f（x）=x|x-a|+b（1）求证：f（ 若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区 已知函数f（x）满足f(ax-1)=lgx+2 已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x 已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f(x)= 已知函数f（x）=1-a+lnxx，a∈R 函数y=f（x）为奇函数，且f（1）+f（2）- 闽ICP备2021017268号-8