已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），则称{an} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=

4x+2
x+3
，h（x）=
ax+b
cx+d
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函数g（x）的不动点x1，x2；
（2）设a1=3，{an} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x1，x2（不妨设x1＜x2），数列求证{
an-x1
an-x2
}是等比数列，并求
lim
n→∞
an；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{bn}，（其中b1=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+T=bn，则称数列{bn} 为周期数列，T是它的一个周期．

答案

（1）

4x+2
x+3
=x，即x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2，
所以函数g（x）的不动点为x1=-1，x2=2．
（2）：a1=3，an+1=g（an）=
4an+2
an+3
，设cn=
an+1
an-2
，
则cn+1=
an+1+1
an+1-2
=
5an+5
2an-4
=
5
2
an+1
an-2
=
5
2
cn，c1=
a1+1
a1-2
=4．
所以数列{
an+1
an-2
}是等比数列，公比为
5
2
，首项为4．
an+1
an-2
=4•(
5
2
)n-1得an=
8•5n-1+2n-1
4•5n-1-2n-1
．
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
8•5n-1+2n-1
4•5n-1-2n-1
=
lim
n→∞
8+(
2
5
)n-1
4-(
2
5
)n-1
=2．
（3）：h（x）=
ax+b
cx+d
=x，即cx2+（d-a）x-b=0．
因为△=（d-a）2+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x1，x2．
b1=p，bn+1=h（bn）=
abn+b
cbn+d
，
bn+1-x1
bn+1-x2
=
abn+b
cbn+d
-
ax1+b
cx1+d
abn+b
cbn+d
-
ax2+b
cx2+d
=
cx2+d
cx1+d
•
bn-x1
bn-x2
，
则{
bn-x1
bn-x2
}是等比数列，首项为
p-x1
p-x2
，公比为
cx2+d
cx1+d
．
因为
bn-x1
bn-x2
=
p-x1
p-x2
（
cx2+d
cx1+d
）n-1，所以
bn+T-x1
bn+T-x2
=
p-x1
p-x2
（
cx2+d
cx1+d
）n+T-1．
数列{bn}为周期数列的充要条件是（
cx2+d
cx1+d
）n-1=（
cx2+d
cx1+d
）n+T-1，即（
cx2+d
cx1+d
）T=1．
故|
cx2+d
cx1+d
|=1，但x1≠x2，从而cx2+d=-cx1-d．x1+x2=-
2d
c
=-
d-a
c
，
故d=-a．

解析

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