若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式[f(x1)+f(x2)]≤f()成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）． |
答案
（I）证明：对任意x1，x2∈R，当a＜0，
有[f（x1）+f（x2）]-2f（）=ax12+bx1+c+ax22+bx2+c-2[a（）2+b（）+c]=ax12+ax22-a（x12+x22+2x1x2）=a（x1-x2）2 （3分）
∴当a＜0时，f（x1）+f（x2）≤2f（），即≤f（）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．
（2）因为|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，
所以 |
