题目

已知函数f（x）=log₂

x+1

x-1

，g（x）=log₂（x-1）
（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）记函数h（x）=g（2^x+2）+kx，问：是否存在实数k使得函数h（x）为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）记函数F（x）=f（x）+g（x）+log₂（p-x），其中p＞1试求F（x）的值域．

答案

（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：
任取1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∵

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

∵1＜x₁＜x₂，∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

＞0
∴

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
（2）h（x）=g（2^x+2）+kx=log₂（2^x+1）+kx，定义域为R
假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）-h（-x）=0恒成立
即log₂（2^x+1）+kx-log₂（2^-x+1）+kx=0，化简得（1+2k）x=0
∴k=-

1

2

使得函数h（x）为偶函数．
（3）首先函数F（x）的定义域是（1，p）
F（x）=log₂（x+1）（p-x）=log₂[-x²+（p-1）x+p]=log₂[-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

]，显然

p-1

2

＜

p

2

①当

p-1

2

≤1，即1＜p≤3时，t=-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函数f（x）的值域为（-∞，log₂（p-1））；
②当1＜

p-1

2

＜

p

2

，即p＞3时，t=-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

在（1，

p-1

2

）上单调递增，在（

p-1

2

，p）上单调递减，即0＜t≤

(p+1)2

4

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．
综上：当1＜p≤3时，函数f（x）的值域为（-∞，log₂（p-1））；当p＞3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．

解析