题目

已知函数f（x）=|x-m|，函数g（x）=xf（x）+m²-7m．
（1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；
（2）求函数g（x）在[3，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）当m=1时，g（x）=xf（x）+m²-7m=x|x-1|-6．
不等式g（x）≥0，即x|x-1|-6≥0，
①当x≥1时，不等式转化为x²-x-6≥0，解之得x≥3或x≤-2
因为x≤-2不满足x≥1，所以此时x≥3
②当x＜1时，不等式转化为-x²+x-6≥0，不等式的解集是空集
综上所述，不等式g（x）≥0的解集为[3，+∞）；
（2）g（x）=xf（x）+m²-7m=