已知数列{an}中，已知a1=1，an+1=a

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知数列{an}中，已知a1=1，an+1=

an
1+2an
，
（1）求证数列{
1
an
}是等差数列；  
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若对一切n∈N*，等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立，求数列{bn}的通项公式．

答案

（1）由an+1=

an
1+2an
，
得an+1+2anan+1=an，
即an-an+1=2anan+1
两边同除以anan+1，
得，
1
an+1
-
1
an
=2，
又
1
a1
=1，
所以数列{
1
an
}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）
1
an
=1+2(n-1)=2n-1，
所以数列{an}的通项公式an=
1
2n-1

（3）因为对一切n∈N*，
有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n①
所以当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=2n-1②
①-②得，当n≥2时，
anbn=2n-1，
又an=
1
2n-1
，
所以bn=（2n-1）2n-1
又n=1时，a1b1=21，a1=1，
所以b1=2；
综上得bn=

解析

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