题目

f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+x•f"（x）＜0，且f（-4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

A．（-4，0）∪（4，+∞）

B．（-4，0）∪（0，4）

C．（-∞，-4）∪（4，+∞）

D．（-∞，-4）∪（0，4）

答案

设g（x）=xf（x），则g"（x）=[xf（x）]"=x"f（x）+xf"（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（-4）=0，
∴f（4）=0；
即g（4）=0，g（-4）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（4），即0＜x＜4
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（-4），即x＜-4
故所求的解集为（-∞，-4）∪（0，4）
故选D．

解析