题目

已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f"（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

答案

（1）由题意得f"（x）=3ax²+2x+b
因此g（x）=f（x）+f"（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得a=-

1

3

，b=0，因此f（x）的解析表达式为f(x)=-

1

3

x3+x2．
（2）由（Ⅰ）知g(x)=-

1

3

x3+2x，
所以g"（x）=-x²+2，令g"（x）=0
解得x1=-

解析 相关题目 已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a 设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的 已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的 设定义在（-1，1）上的奇函数f （x）的导函 设f（x）是偶函数，且当x≥0时，f(x)= 下列几个命题：①方程x2+（a-3）x+a=0有 已知函数f（x）=1x-ax，且f（1）= 若函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，则 若不等式a+|x2-1x|≥2|log2 设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(b-3 闽ICP备2021017268号-8