题目
2x-1 |
2x+1 |
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明:在f(x)上R为增函数;
(3)证明:方程f(x)-lnx=0在区间(1,3)内至少有一根.
答案
函数定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=
2-x-1 |
2-x+1 |
1-2x |
1+2x |
2x-1 |
2x+1 |
所以函数f(x)为奇函数;
(2)证明:f(x)=1-
2 |
2x+1 |
任取x1,x2,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(1-
2 |
2x1+1 |
2 |
2x2+1 |
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
因为x1<x2,所以2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故f(x)在R上为增函数;
(3)证明:令g(x)=f(x)-lnx=1-
2 |
2x+1 |
因为g(1)=
1 |
3 |
2 |
23+1 |
7 |
9 |
又g(x)在(1,3)上图象连续不断,
所以函数g(x)在(1,3)上至少有一个零点,
即方程f(x)-lnx=0在区间(1,3)内至少有一根.