已知函数f(x)=2x-12x+1.(

难度:一般 题型:解答题 来源:不详

题目

已知函数f(x)=

2x-1
2x+1

(1)判断函数f(x)的奇偶性;  
(2)证明:在f(x)上R为增函数;
(3)证明:方程f(x)-lnx=0在区间(1,3)内至少有一根.

答案

(1)f(x)为奇函数.证明如下:
函数定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=

2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-
2x-1
2x+1
=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数;
(2)证明:f(x)=1-
2
2x+1

任取x1,x2,且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=(1-
2
2x1+1
)-(1-
2
2x2+1
)=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

因为x1<x2,所以2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故f(x)在R上为增函数;
(3)证明:令g(x)=f(x)-lnx=1-
2
2x+1
-lnx,
因为g(1)=
1
3
>0,g(3)=1-
2
23+1
-ln3=
7
9
-ln3<0,
又g(x)在(1,3)上图象连续不断,
所以函数g(x)在(1,3)上至少有一个零点,
即方程f(x)-lnx=0在区间(1,3)内至少有一根.

解析

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