题目

对于函数f(x)=a-

2

2x+1

(a∈R)．
（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

答案

证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数f(x)=a-

2

2x+1

为奇函数
则f（-x）+f（x）=a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=a-

2•2x

2x+1

+a-

2

2x+1

=2a-

2•(2x+1)

2x+1

=2a-2=0
解得a=1
故存在实数a=1使函数f（x）为奇函数

解析