题目

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意得，f(x)=x2+2x-4lnx⇒f′(x)=2x+2-

4

x

．由函数的定义域为x＞0，
∴f"（x）＞0⇒x＞1，f"（x）＜0⇒0＜x＜1．∴函数f（x）有极小值f（1）=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f(2t-1)≥2f(t)-3⇒2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln

t2

2t-1

．
当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln

t2

2t-1

=ln[1+

(t-1)2

2t-1

]≤

(t-1)2

2t-1

＜(t-1)2在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln

t2

2t-1

≤(t-1)2，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．

解析