已知函数f（x）=logax和g（x）=2log

难度：一般 题型：解答题 来源：深圳一模

题目

已知函数f（x）=logax和g（x）=2loga（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）的图象在X=2处的切线互相平行．
（1）求T的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求A的取值范围．

答案

（I）∵f′(x)=

1
x
logae，g′(x)=
4
2x+t-2
logae（3分）
∵函数f（x）和g（x）的图象在X=2处的切线互相平行，
∴f"（2）=g"（2）（5分）
∴
1
2
logae=
4
2×2+t-2
logae，
∴t=6（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2loga（2x+4）-logax=loga
(2x+4)2
x
，x∈[1，4]
令 h(x)=
(2x+4)2
x
=4x+
16
x
+16，x∈[1，4]∵h′(x)=4-
16
x2
=
4(x-2)(x+2)
x2
，x∈[1，4]
∴当1≤x＜2时，h′（x）＜0，
当2＜x≤4时，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是单调减函数，在（2，4]是单调增函数．（9分）
∴h（x）min=h（2）=32，∴h（x）max=h（1）=h（4）=36
∴当0＜a＜1时，有F（x）min=loga36，当a＞1时，有F（x）min=loga32．
∵当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，∴F（x）min≥2（10分）
∴满足条件的a的值满足下列不等式组

解析

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