题目

已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记f（x）=Re（z₁•z₂）
（1）试写出f（x）关于x的函数解析式
（2）若函数f（x）是偶函数，求k的值
（3）求证：对任意实数m，由（2）所得函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+m的图象最多只有一个交点．

答案

（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi
∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）
=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i（2分）
f（x）=Re（z₁•z₂）=log₂（2^x+1）+kx（2分）
（2）设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数
得：f（-x）=f（x）（4分）
log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
2kx=log₂（

2-x-1

2x+1

）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-

1

2

（8分）
证明：（3）由（2）得：f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x
联立方程：y=log₂（2^x+1）-

1

2

x和y=

1

2

x+m
得：log₂（2^x+1）-

1

2

x=

1

2

x+m （10分）
即m=log₂（2^x+1）-x
log₂（2^x+1）=x+m=log₂2^（x+m）
得：2^x+1=2^（x+m）
2^x•（2^m-1）=1（11分）
若 m=0 方程无解（12分）
若 m＜0，2^m-1＜0，2^x＜0方程无解（13分）
若m＞02^x=

1

2m-1

x=log₂

1

2m-1

方程有唯一解（14分）
对任意实数m，函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+m的图象的交点最多只有一个．（15分）

解析