题目

已知函数f（x）的定义域为R，且对于一切实数x满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]时，f（x）=（x-2）²，求当x∈[16，20]时，函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，记f（x）=0在区间[-1000，1000]上的根数为N，求N的最小值．

答案

解（1）由f（x+2）=f（2-x）及f（x+7）=f（7-x）得：f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称．
∴f（x）=f[（x-2）+2]
=f[2-（x-2）]=f（4-x）
=f[7-（3+x）]=f（7+（3+x））
=f（x+10）
∴f（x）是以10为周期的周期函数．
∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9
（2）当x∈[16，17]，x-10∈[6，7]
∴f（x）=f（x-10）=（x-10-2）²=（x-12）²
当x∈（17，20]，x-20∈（-3，0]，4-（x-20）∈[4，7）
∴f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）]
=f（24-x）=（x-22）²
∴g（x）=