题目

定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10^x．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）；
*（Ⅳ）试用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）．

答案

（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10^x ①，
∴f（-x）+g（-x）=10^-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10^-x ②，
由①，②解得：f（x）=

1

2

（10^x-

1

10x

），g（x）=

1

2

（10^x+

1

10x

）．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=

1

2

（10^x-

1

10x

），
∴（10^x）²-2y⋅10^x-1=0，解得10^x=y±

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