已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1

难度：一般 题型：解答题 来源：广州二模

题目

已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(

x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
（1）求实数a的取值范围；
（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

答案

（1）∵f(

x1+x2
2
)-
f(x1)+f(x2)
2

=a(
x1+x2
2
)2+b(
x1+x2
2
)+c-
ax12+bx1+c+ax22+bx2+c
2

=-
a
4
(x1-x2)2＜0，
∵x1≠x2，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+
2
a
)2-2-
4
a
，
显然f（0）=-2，对称轴x=-
2
a
＜0．
①当-2-
4
a
＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-
2
a
，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax2+4x-2=-4，解得x=
-2±

解析

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