定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在

难度：一般 题型：解答题 来源：长宁区二模

题目

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+k）=f（x0）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2x为“1性质函数”，求x0；
（2）判断函数f(x)=

1
x
是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数f(x)=lg
a
x2+1
为“2性质函数”，求实数a的取值范围．

答案

（本题满分（16分），第（1）小题（4分），第2小题（6分），第3小题6分）
（1）由f（x0+1）=f（x0）+f（1）得2x0+1=2x0+2，…（2分）
∴2x0=2，∴x0=1． …（4分）
（2）若存在x0满足条件，
则

1
x0+k
=
1
x0
+
1
k
即x02+kx0+k2=0，…（7分）
∵△=k2-4k2=-3k2＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴f(x)=
1
x
不能为“k性质函数”．  …（10分）
（3）由条件得：lg
a
(x0+2)2+1
=lg
a
x 20
+1
+lg
a
5
，…（11分）
即
a
(
x 20
+2)2+1
=
a2
5(
x 20
+1)
（a＞0），
化简得(a-5)
x 20
+4ax0+5a-5=0，…．（13分）
当a=5时，x0=-1；  …（14分）
当a≠5时，由△≥0，
16a2-20（a-5）（a-1）≥0即a2-30a+25≤0，
∴15-10

解析

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