题目

已知函数f（x）满足f(x+1)=-

1

f(x)

，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

A．[ 1 4 ， 1 3 )

B．(0， 1 2 )

C．(0， 1 4 ]

D．( 1 3 ， 1 2 )

答案

∵函数f（x）满足f(x+1)=-

1

f(x)

，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，
可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，故当x∈[-1，1]时，f（x）=x² ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）²．
由于函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，如图所示：



把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=

1

4

，数形结合可得实数k的取值范围是 (0，

1

4

]，
故选C．

解析