对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）当a=1，b=-2求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，令g(x)=

1
x+2
+loga 
1+x
1-x
，解关于x的不等式g[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．

答案

（1）当a=1，b=-2时，
ax2+（b+1）x+（b-1）=x可化为x2-x-3=x
∴x2-2x-3=0
∴x=3或-1
∴所求的不动点为-1或3．
（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异不动点，即ax2+bx+（b-1）=0有两个不等实根
∴△1＞0，即b2-4ab+4a＞0对任意b∈R恒成立
∴△2=16a2-16a＜0
∴0＜a＜1
（3）g′(x)=-

1
(x+2)2
+
2
(1+x)(1-x)lna

∵
1+x
1-x
＞0，
∴-1＜x＜1
∴（1+x）（1-x）＞0
∵0＜a＜1
∴lna＜0
∴g′（x）＜0
∴g（x）在定义域（-1，1）上递减，
∵g(0)=
1
2

∴g[x(x-
1
2
)]＜
1
2
可化为g[x(x-
1
2
)]＜g(0)
∴

解析

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