已知函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c

难度:一般 题型:解答题 来源:不详

题目

已知函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R且a≠0)
(1)当x=1时有最大值1,若x∈[m,n],(0<m<n)时,函数f(x)的值域为[

1
n
1
m
],证明:
f(m)
f(n)
=
n
m

(2)若b=4,c=-2时,对于给定正实数a有一个最小负数g(a),使得x∈[g(a),0]时,|f(x)|≤4恒成立,问a为何值时,g(a)最小,并求出这个最小值.

答案

(1)由条件得:a<0,

1
m
≤1,即m≥1,
∴[m,n]⊂[1,+∞)∴f(m)=
1
m
,f(n)=
1
n

f(m)
f(n)
=
n
m

(2)f(x)=a(x+
2
a
,显然f(0)=-2,
对称轴x=-
2
a
<01,当-2-
4
a
<-4
,即0<a<2时,g(a)∈(-
2
a
,0
),且f(g(a))=-4
令ax2+4x-2=-4,解得x=
-2±

解析