题目

设函数f（x）=1-e^-x，函数g(x)=

x

ax+1

（其中a∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f"（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，求证：e2n-

n

k=1

4

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

2

（其中e是自然对数的底数）．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=1-e^-x，∴f′（x）=-e^-x•（-1）=e^-x，
函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe^-x，
∴h′（x）=（1-x）•e^-x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
故该函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=

1

e

．（4分）
（Ⅱ）由题1-e^-x≤

x

ax+1

在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e^-x∈[0，1），∴

x

ax+1

≥0，
若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞-

1

x

恒成立，则a≥0．
不等式1-e-x≤

x

ax+1

恒成立等价于（ax+1）（1-e^-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）
令μ（x）=（ax+1）（1-e^-x），则μ′（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
又令v（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
则v′（x）=e^-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①当a=0时，v′（x）=-e^-x＜0，
则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②当a≥0时，v′(x)=-a•e-x(x-

2a-1

a

)．
ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a≤

1

2

时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）
ⅱ）若2a-1＞0，即a＞

1

2

时，若0＜x＜

2a-1

a

时，
v′（x）＞0，则v（x）在（0，

2a-1

a

）上单调递增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，

2a-1

a

）上也单调递增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．（9分）
综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，

1

2

]．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=

1

2

时，则1-e-x≤

x

1 2 x+1

，
∴e-x≥

2-x

2+x

，
当x∈[0，2）时，e-x≥

2-x

2+x

，∴x≤ln

2+x

2-x

，
令

2+x

2-x

=n，则x=

2n-2

n+1

=2-

4

n+1

，
∴lnn≥2-

4

n+1

(n∈N*)，∴

n

k=1

lnk≥2n-

n

k=1

4

k+1

，
∴ln(n!)≥2n-

n

k=1

4

k+1

，（12分）
又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即xe-x≤

1

e

，当x＞0时，ln(xe-x)≤ln

1

e

=-1，∴lnx≤x-1，
ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，
综上得2n-

n

k=1

4

k+1

≤ln（n!）≤

n2-n

2

，
即e2n-

n

k=1

4

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

2

．（14分）

解析