函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（

难度：一般 题型：解答题 来源：资中县模拟

题目

函数f（x）=

ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）的奇函数，且f（
1
2
）=
2
5
．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

答案

（1）∵函数f（x）=

ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）的奇函数
∴f（0）=0，即得b=0
∵f（
1
2
）=
2
5
．
∴
a×
1
2
1+(
1
2
)2
=
2
5
，即得a=1
∴f（x）=
x
1+x2

（2）设任意x1，x2∈（0，1），且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
x1
1+x12
-
x2
1+x22

=
x1(1+x22)-x2(1+x12)
(1+x12)(1+x22)

=
(x1-x2)(1-x1x2) 
(1+x12)(1+x22)
＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，1）上为增函数
∵函数f（x）是定义在（-1，1）的奇函数
∴函数f（x）在（-1，1）上为增函数
（3）不等式f（t-1）+f（t）＜0
⇔f（t-1）＜-f（t）
⇔f（t-1）＜f（-t）  （根据奇函数的性质）
⇔

解析

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