已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1、x2∈

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1、x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）求f（x）在[-4，4]上的最值；
（3）解关于x的不等式

1
2
f（bx2）-f（x）＞
1
2
f（b2x）-f（b）（b2≠2）．

答案

（1）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
再令x1=x，x2=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为R上的奇函数．
设x1＜x2，则x2-x1＞0，当x＞0时f（x）＜0．
∴f（x2-x1）＜0
由f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）为R上的减函数．
（2）∵f（x）为R上的减函数
∴f（x）为[-4，4]上是减函数
∴f（x）的最大值为f（-4），最小值为f（4）
最小值f（4）=f（1+3）=f（1）+f（3）=4f（1）=-8
最大值f（-4）=-f（4）=8
（3）∵

1
2
f（bx2）-f（x）＞
1
2
f（b2x）-f（b）
∴
1
2
f(bx2-b2x)＞f(x-b)
∵f（
x
2
+
x
2
）=2f（
x
2
）∴f(
x
2
)=
1
2
f(x)
∴f(
bx2-b2x
2
)＞f(x-b)
∴bx2-b2x＜2x-2b
∴bx2-（2+b2）x+2b＜0，
若b=0，则{x|x＞0}；若b≠0，则b（x-
2
b
）（x-b）＜0
当-

解析

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