（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=f（x）的图象交于点P（x0，f（x0）），求证：函数y=f（x）在点P处的切 线过点（

4
3

答案

（I）证明：过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线方程为x=
a
2

则P(
a
2
，
a2
4
(b-
a
2
))，…（1分）
y"=3x2-（2a+2b）x+ab，…（2分）
所求切线斜率为3(
a
2
)2-(2a+2b)•
a
2
+ab=-
a2
4
，…（3分）
切线方程为y-
a2
4
(b-
a
2
)=-
a2
4
(x-
a
2
)，令y=0，解得x=b，
所以，函数y=f （x）过点P的切线过点（b，0）…（5分）
（II）因为a=b，所以y=f（x）=x（x-a）2，
y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-
a
3
)，…（6分）
当a＞0时，函数y=f(x)在(-∞，
a
3
)上单调递增，在（
a
3
，a）单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
所以，根据题意有
即

解析

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