题目

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f"（x）．
（1）当a=

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时，若不等式f′(x)＞-

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3

对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

答案

（1）当a=

1

3

时，f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

，…（1分）
依题意　f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

＞-

1

3

即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得　0＜b＜1
所以b的取值范围是（0，1）…（4分）
（2）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，f"（x）=3ax²-a．
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x³-x．…（6分）
∴f（x）在(-∞，-

解析 相关题目 已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（ 函数f(x)=x23+mx+1是偶函数，则 设定义在[-2，2]的偶函数f（x）在区间[0， 已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）， 已知f(x)=3x2-4x，x 函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ） 当 已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函 当x∈（1，+∞）时，下列函数的图象全在直 已知函数f(x)=bx+cx+1的图象过原 已知函数f（x）=log2（x2-ax-a）在区 闽ICP备2021017268号-8