对任意x∈R，给定区间[k-12，k+1

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

对任意x∈R，给定区间[k-

1
2
，k+
1
2
]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内
整数之差的绝对值．
（1）当x∈[-
1
2
，
1
2
]时，求出f（x）的解析式；当x∈[k-
1
2
，k+
1
2
]（k∈z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）求f(
4
3
)，f(-
4
3
)的值，判断函数f（x）（x∈R）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当e-
1
2
＜a＜1时，求方程f(x)-loga

答案

（1）当x∈[-
1
2
，
1
2
]时，
由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-
1
2
，
1
2
]
当x∈[k-
1
2
，k+
1
2
]（k∈z）时，
由定义知：k为与x最近的一个整数，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-
1
2
，k+
1
2
]（k∈z）；
（2）f(
4
3
)=
1
3
，f(-
4
3
)=
1
3

判断f（x）是偶函数．
对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足
k-
1
2
≤x≤k+
1
2
，f（x）=|x-k|，
由k-
1
2
≤x≤k+
1
2
，可以得出-k-
1
2
≤-x≤-k+
1
2
，
即-x∈[-k-
1
2
，-k+
1
2
]，
由（Ⅰ）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），
即f（x）是偶函数．
（3）f(x)-loga

解析

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