题目
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
答案 |
| （Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x， 即x-1≤f（x）≤1-x． （Ⅱ）函数g（x）满足题设条件． 验证如下：g（-1）=0=g（1）． 对任意的u，v∈[-1，1]， 当u，v∈[0，1]时，有|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1-v）|=|u-v|； 当u，v∈[-1，0]时，同理有|g（u）-g（v）|=|u-v|； 当u•v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，有|g（u）-g（v）|=|（1+u）-（1-v）|=|u+v|≤|v-u|． 所以，函数g（x）满足题设条件． （Ⅲ）这样满足的函数不存在． 理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，则由f（-1）=f（1）=0，得|f（1）-f（-1）|=0，① 由于对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=|u-v|． 所以，|f（1）-f（-1）|=|1-（-1）|=2．② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在． |